飞鸿踏雪

3D基本变换和观测变换(viewing transform)

3D基本变换

平移矩阵

通常处理三维中对模型进行平移的行为


$T(t_x,t_y,t_z) = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &t_x \\ 0 &1 &0 &t_y \\ 0 &0 &0 &t_z \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} $

$t_x,t_y,t_z$通常表示对应轴上平移的距离

缩放矩阵

通常处理三维中对模型进行缩放的行为

$S(s_x,s_y,s_z) = \begin{pmatrix} s_x &0 &0 &0 \\0 &s_y &0 &0 \\ 0 &0 &s_z &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} $

$s_x,s_y,s_z$通常表示对应xyz轴的缩放比例

旋转矩阵

这个矩阵通常处理三维中对模型绕坐标轴进行旋转的行为

绕x轴旋转的矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &cos(r) &-sin(r) &0 \\ 0 &sin(r) &cos(r) &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} $

绕y轴旋转的矩阵为 $\begin{pmatrix} cos(r) &0 &sin(r) &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -sin(r) &0 &cos(r) &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} $

绕z轴旋转的矩阵为 $\begin{pmatrix} cos(r) &-sin(r) &0 &0 \\ sin(r) &cos(r) &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} $

对于给定三个旋转角度的旋转，通常使用欧拉角

$R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma)=R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)$

此时的三个旋转方向将被称为roll,pich,yaw

flight_euler

对于围绕某一特定点进行旋转的行为，则将该点平移至原点处后视为绕特定轴旋转

视角变换矩阵

这个矩阵通常用来定义相机对应的视角朝向，利用这个矩阵来将相机位置移动到原点，便于后续的模型进行平移旋转等变换

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Eigen::Matrix4f view = Eigen::Matrix4f::Identity();

Eigen::Matrix4f translate;
translate << 1, 0, 0, -eye_pos[0],
             0, 1, 0, -eye_pos[1],
             0, 0, 1, -eye_pos[2],
             0, 0, 0,  1;

view = translate * view;//移动相机位置到顶点

在上述代码中，eye_pos(x,y,z,1)往往为相机的位置

正交/投影矩阵

正交矩阵

正交矩阵将使摄像头置于坐标系原点，看向-Z轴方向，可以在Y轴上平行移动。 最终结果将表现为在XY轴平面上的2D图像，让模型坐标归一化到[-1,1]之间

总体流程

为了将一个$[l,r]\times[b,t]\times[f,n]$的长方体转换为符合canonical(正则、规范、标准)的正方体，我们需要进行两步操作

第一步

平移这个长方体到坐标系的原点

对应矩阵$M_{translate}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} &0 &0 &0 \\ 0 &\frac{2}{t-b} &0 &0 \\ 0 &0 &0 &\frac{2}{n-f} \\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}$

第二步

缩放这个长方体到符合正则、规范、标准的正方体

对应矩阵$M_{scale}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &-\frac{r+l}{2} \\ 0 &1 &0 &-\frac{t+b}{2} \\ 0 &0 &1 &-\frac{n+f}{2} \\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}$

由第一二步可得出

正交矩阵为$M_{ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} &0 &0 &0 \\ 0 &\frac{2}{t-b} &0 &0 \\ 0 &0 &0 &\frac{2}{n-f} \\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &-\frac{r+l}{2} \\ 0 &1 &0 &-\frac{t+b}{2} \\ 0 &0 &1 &-\frac{n+f}{2} \\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}$

图示

正交矩阵

投影矩阵

投影矩阵将使模型满足自然界透视效果，如物体近大远小、所有的平行线变得不再平行，总会交于一点

推导过程

将远平面与近平面连线形成的梯形“挤压”到成为一个正方体

挤压的过程对梯形做横切面可知，计算挤压后的坐标点值实质上为计算相似三角形

如下图，可知挤压后的坐标与之前的坐标存在的数学关系为

$$y^{'}=\frac{n}{z}y$$ $$x^{'}=\frac{n}{z}x$$

由此可知经过“挤压”后的坐标为 $$M_{persp->ortho}\times\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} nx \\ ny \\ {未知} \\ z \end{pmatrix}$$

所以 $$M_{persp->ortho}=\begin{pmatrix} n &0 &0 &0 \\ 0 &n &0 &0 \\ ? &? &? &? \\ 0 &0 &1 &0 \end{pmatrix}$$

又由远平面在被“挤压”后相当于近平面做正交投影得到的远平面，可知

  1. 任何在近平面上的点的坐标在“挤压”的过程中不发生改变
  2. 任何在远平面的点的坐标中的Z值不发生改变,即$$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{pmatrix}\rArr\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{pmatrix}==\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f^2 \\ f \end{pmatrix}$$

在将上述坐标公式中Z的值以n替换之后可得 $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix}\rArr\begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix}==\begin{pmatrix} nx \\ ny \\ n^2 \\ n \end{pmatrix}$$ 据此，可推测第三行未知坐标值符合以下关系 $$\begin{pmatrix} 0 &0 &A &B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix}=n^2$$ 因此 $$An+B=n^2$$ 联立性质2推导的 $$Af+B=f^2$$ 可得出 $$A=n+f$$ $$B=-nf$$

所以 $$M_{persp}=M_{ortho}M_{persp->ortho}=$$ $$\begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} &0 &0 &0 \\ 0 &\frac{2}{t-b} &0 &0 \\ 0 &0 &0 &\frac{2}{n-f} \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$ $$\times$$ $$\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &-\frac{r+l}{2} \\ 0 &1 &0 &-\frac{t+b}{2} \\ 0 &0 &1 &-\frac{n+f}{2} \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$ $$\times$$ $$\begin{pmatrix} n &0 &0 &0 \\ 0 &n &0 &0 \\ 0 &0 &n+f &-nf \\ 0 &0 &1 &0 \end{pmatrix}$$

涉及FovY的投影矩阵

FovY表示视域，即摄像机在固定时能看到的最大角度或最低角度的范围

Aspect ratio 表示纵横比，投影平面的长宽比

对应的相似三角形关系不变，参数改变 可得如下关系 $$\tan{\frac{fovY}{2}}=\frac{t}{|n|}$$ $$aspect=\frac{r}{t}$$ 因此 $$t=near\times tan(\frac{fovY}{2})$$

$$r=aspect\times near\times tan(\frac{fovY}{2})$$ $$l=-aspect\times near \times tan(fovY/2)$$ 带入上述由l,b,n,f构成的矩阵可得 $$M_{persp->ortho}$$ $$=$$ $$\begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} &0 &0 &0 \\ 0 &\frac{2}{t-b} &0 &0 \\ 0 &0 &\frac{2}{n-f} &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$ $$\times$$ $$\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &-\frac{r+l}{2} \\ 0 &1 &0 &-\frac{t+b}{2} \\ 0 &0 &1 &-\frac{n+f}{2} \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$ $$=$$

$$\begin{pmatrix} \frac{\frac{\cot{FovY}}{2}}{apsect*near} &0 &0 &0 \\ 0 & \frac{\frac{\cot{FovY}}{2}}{near} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{near-far} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\times$$

$$\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &-\frac{near+far}{2} \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$

$$=$$

$$\begin{pmatrix} \frac{\frac{\cot{FovY}}{2}}{apsect * near} &0 &0 &0 \\ 0 &\frac{\frac{\cot{FovY}}{2}}{near} &0 &0 \\ 0 &0 &\frac{2}{near-far} &-\frac{near+far}{near-far} \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$

视口变换

经过MVP矩阵计算后得到的一个正则的正方体需要将X轴和Y轴上的坐标映射到屏幕坐标[0,width]$\times$[0,height]

变换时需要先将[-1,1]缩放到屏幕大小[width,height]，再进行平移使得原点坐标与屏幕原点对齐

变换矩阵 $$M_{viewport}=\begin{bmatrix} \frac{width}{2} &0 &0 &\frac{width}{2} \\ 0 &\frac{height}{2} &0 &\frac{height}{2} \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}$$